Différentiant alors les trois dernières équations sous ce point de vue, en ayant égard à ces relations, il viendra
![{\displaystyle 1+pP-\left[\left(1+p^{2}\right)-q(Y-y)\right]{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1e8900e3decef299490a72170b90064e45b0d6)
![{\displaystyle 1+p'P-\left[\left(1+p'^{2}\right)-q'(Y-y')\right]{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a78e5c11ca6f7ecf3e016f9a37958dfb78e006)
![{\displaystyle {\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-(1+pP){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}}{\lambda ^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49630cc954242952f04456f4643bb8a8f068bba9)
![{\displaystyle {\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y')-(1+p'P){\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}}{\lambda '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f42df725bf39cc926c196274063272ebbb86bd2)
mettant ensuite dans la dernière les valeurs de
et
tirées des deux qui la précèdent, on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-{\frac {(1+pP)^{2}}{\left(1+p^{2}\right)-q(Y-y)}}}{\lambda ^{2}}}\\\\=&{\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-{\frac {(1+p'P)^{2}}{\left(1+p'^{2}\right)-q'(Y-y')}}}{\lambda '^{2}}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600d7194f0e1977aab8b45606356abde8fb375e6)
(4)
Cela posé, les axes des coordonnées n’étant simplement assujettis qu’à être rectangulaires, et pouvant d’ailleurs avoir, sur le plan des trois courbes, une situation quelconque ; il nous est permis de supposer, pour simplifier un peu ce résultat, qu’on a pris pour origine le point d’incidence
en dirigeant les axes des
et des
respectivement suivant la tangente et la normale à la courbe séparatrice en ce point. On aura ainsi
et si, en outre, on désigne par
le rayon de courbure de cette séparatrice en ce point, on aura
au moyen de quoi l’équation (4) deviendra simplement