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Différentiant alors les trois dernières équations sous ce point de vue, en ayant égard à ces relations, il viendra

$1+pP-\left[\left(1+p^{2}\right)-q(Y-y)\right]{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}=0,$

$1+p'P-\left[\left(1+p'^{2}\right)-q'(Y-y')\right]{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}=0,$

${\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-(1+pP){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}}{\lambda ^{2}}}=$

${\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y')-(1+p'P){\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}}{\lambda '^{2}}}.$

mettant ensuite dans la dernière les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}$ et ${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}},$ tirées des deux qui la précèdent, on aura

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-{\frac {(1+pP)^{2}}{\left(1+p^{2}\right)-q(Y-y)}}}{\lambda ^{2}}}\\\\=&{\frac {\left(1+P^{2}\right)+Q(Y-y)-{\frac {(1+p'P)^{2}}{\left(1+p'^{2}\right)-q'(Y-y')}}}{\lambda '^{2}}}.\end{aligned}}\right\}$(4)

Cela posé, les axes des coordonnées n’étant simplement assujettis qu’à être rectangulaires, et pouvant d’ailleurs avoir, sur le plan des trois courbes, une situation quelconque ; il nous est permis de supposer, pour simplifier un peu ce résultat, qu’on a pris pour origine le point d’incidence $(X,Y),$ en dirigeant les axes des $x$ et des $y,$ respectivement suivant la tangente et la normale à la courbe séparatrice en ce point. On aura ainsi $Y=0,\ P=0\,;$ et si, en outre, on désigne par $R$ le rayon de courbure de cette séparatrice en ce point, on aura $Q=-{\frac {1}{R}}\,;$ au moyen de quoi l’équation (4) deviendra simplement