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Désignons par 
la courbe séparatrice, par 
les deux trajectoires, par 
leurs développées respectives, lesquelles ne sont autre chose que les caustiques formées par les rayons incidens et réfractés. Soient 
les longueurs des normales abaissées respectivement sur les deux trajectoires 
soient 
les points où ces normales touchent les caustiques 
et soient 
les distances de l’origine à ces deux points ; soient enfin 
les rayons de courbure des deux trajectoires, pour les points 
Prenons pour angle des coordonnées positives celui dans lequel se trouve situé le point 
de la caustique 
et remarquons que le rapport de 
à 
pouvant toujours être supposé aussi voisin de l’égalité qu’on voudra, il s’ensuit que la caustique 
peut être supposée indéfiniment voisine de la caustique 
sans pourtant se confondre avec elle ; auquel cas le point 
se trouvera très-voisin de et situé, comme lui, dans l’angle des coordonnées positives.
Remarquons présentement que, les deux trajectoires étant liées entre elles, mais d’ailleurs arbitraires, l’une et l’autre, on peut toujours faire passer l’une d’elles par un point donné, pris comme on voudra. On peut donc supposer le point 
de 
situé entre le point et l’origine, et si près de ce dernier point qu’on voudra ; et alors, à raison de la presque égalité des deux nombres et le point 
se trouvera également situé entre le point et l’origine.
En conséquence on aura
(6)
(6’)
