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QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème d’analise énoncé à la page 64
du présent volume ;

Par M. Vallès, élève à l’École royale polytechnique^[1].

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Soient $p+q$ boules contenues dans une urne de laquelle il faille en extraire un nombre $p$ ou un nombre $q\,;$ cette extraction pourra se faire d’un nombre de manières exprimé par

${\frac {p+q}{1}}.{\frac {p+q-1}{2}}.{\frac {p+q-2}{3}}\ldots {\frac {p+1}{q}}={\frac {p+q}{1}}.{\frac {p+q-1}{2}}.{\frac {p+q-2}{3}}\ldots {\frac {q+1}{p}}.$

dre par rapport à $x$ l’une ou l’autre des équations $x^{n}=a^{m}$ et $x^{np}=a^{mp}.$ Or la seconde peut être mise sous cette forme

$\left(x^{n}-a^{m}\right)\left[x^{n(p-1)}+a^{m}x^{n(p-2)}+\ldots a^{m(p-2)}x^{n}+a^{m(p-1)}x\right]=0$

et dès lors il paraît manifeste qu’elle donne d’abord les mêmes valeurs de $x$ qu’on tire de la première et en outre toutes celles qu’on déduira de l’égalité du second facteur à zéro. La seconde est donc plus étendue que la première ; elles ne sont donc pas identiquement les mêmes ; elles ne sauraient donc impunément être substituées l’une à l’autre ; et il doit en être de même des expressions $a^{\frac {m}{n}}$ et $a^{\frac {mp}{np}}.$ On ne saurait donc se permettre, sans dénaturer une quantité à exposant fractionnaire, de multiplier ou de diviser les deux termes de cet exposant par un même nombre entier.

J. D. G.
1. À la page 120 du présent volume, M. Lenthéric a déduit très-simplement la démonstration de ce théorème d’un beau théorème de M. Ampère ; mais nous avons pensé que le lecteur ne serait pas fâché d’en avoir une démonstration directe ; et, parmi plusieurs qui nous sont parvenues, nous avons cru devoir distinguer celle-ci qui, en même temps qu’elle n’exige aucun calcul, ouvre une voie pour découvrir facilement beaucoup d’autres théorèmes du même genre.
   J. D. G.