Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/353

${\begin{aligned}&\operatorname {f} (x+k)=\operatorname {f} x+k\operatorname {f} _{1}(x,x+k),\\&\operatorname {f} _{1}(x,x+k)=\operatorname {f} _{1}(x,x)+k\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k),\\&\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)=\operatorname {f} _{2}(x,x,x)+k\operatorname {f} _{3}(x,x,x,x+k),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {f} _{n-1}(x,x,\ldots x,x+k)=\operatorname {f} _{n-1}(x,x,x,\ldots x,x)+k\operatorname {f} _{n}(x,x,x,\ldots x,x,x+k)\,;\end{aligned}}$

prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $1,k,k^{2},k^{3},\ldots k^{n-1},$ et réduisant, on trouvera

$\operatorname {f} (x+k)=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {f} x\\+&k\operatorname {f} _{1}(x,x)\\+&k^{2}\operatorname {f} _{2}(x,x,x)\\+&k^{3}\operatorname {f} _{3}(x,x,x,x)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&k^{n-1}\operatorname {f} _{n-1}(x,x,x,\ldots x,x)\\+&k^{n}\operatorname {f} _{n}(x,x,x,\ldots x,x,x+k)\end{aligned}}\right\}\,;\quad$(12)

développement de $\operatorname {f} (x+k)$ en série où on pourra toujours prendre $k$ assez petit, sans être nul, pour que la série soit convergente, puisque les fonctions qui multiplient les diverses puissances de $k$ ont toujours des valeurs finies. En outre, si l’on parvient à assigner deux limites entre lesquelles se trouve compris le dernier terme du développement, le seul qui renferme à sous le signe de fonction, on connaîtra aussi par là les limites de l’erreur commise en bornant la série aux seuls termes qui précèdent celui-là.

Examinons présentement, d’une manière plus particulière, la