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étant le centre des moyennes harmoniques demandé. Si, pour fixer les idées, on cherche le centre des moyennes harmoniques d’une sphère homogène décrite avec le rayon $r,$ et dont le centre soit place sur l’axe des $z,$ à la distance $h$ du plan des $xy,$ on reconnaîtra que ce centre est lui-même situé sur l’axe des $z$ à une distance $Z$ de l’origine ; la valeur de $Z$ étant

(6)$\qquad Z={\frac {h}{3}}.{\frac {r^{3}}{2hr+\left(r^{2}-h^{2}\right)\operatorname {l} \left({\cfrac {h+r}{h-r}}\right)}}.$

Si la valeur de $h$ est très-grande, par rapport au rayon $r,$ la valeur précédente de $Z,$ ou

$Z={\frac {h}{3}}.{\frac {r^{3}}{2hr+\left(r^{2}-h^{2}\right)\left({\cfrac {r}{h}}+{\cfrac {1}{3}}{\cfrac {r^{3}}{h^{3}}}+\ldots \right)}}=h+\ldots$

deviendra sensiblement égale à $h\,;$ et par conséquent le centre des moyennes harmoniques se confondra sensiblement avec le centre de la sphère, comme on devait s’y attendre.

Soient maintenant $v',v'',v''',\ldots ,$ les coordonnées des points $A',A'',A''',\ldots ,$ relatives à un plan quelconque, perpendiculaire ou oblique au plan des $xy\,;$ c’est-à-dire, en d’autres termes, les distances des points $A',A'',A''',\ldots ,$ au nouveau plan, prises tantôt avec le signe $+,$ tantôt avec le signe $-,$ suivant qu’elles se comptent dans un sens ou dans un autre. Soit de même $v$ la distance du centre des moyennes harmoniques des points $A',A'',A''',\ldots ,$ au nouveau plan dont il s’agit. On aura, en vertu des propriétés connues du centre des forces parallèles,

(7)$\qquad Pv=\Sigma (P'v'),$

ou, ce qui revient au même,