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données par les équations (1) et (2), se réduit donc, comme l’on voit, à tirer de l’équation (2) la valeur de $n,$ pour la porter dans la dernière des équations (1), et à éliminer ensuite $m$ entre la première de ces équations et l’équation résultante.

Mais ce calcul revient évidemment à éliminer $m$ et $n$ entre les équations (1) et (2), et doit nécessairement conduire au même résultat, de quelque manière d’ailleurs que l’on procède à l’élimination de ces deux paramètres ; donc on parviendra également à l’équation de la surface conique dont il s’agit, en mettant simplement pour $m$ et $n,$ dans l’équation (2), leurs valeurs données par les équations (1) ; donc finalement l’équation de la surface conique dont il s’agit, et, par suite, l’équation générale de toutes les surfaces coniques qui ont leur sommet ou centre à l’origine, est

$\varphi \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)=0\,;$

équation dans laquelle $\varphi$ désigne une fonction tout-à-fait arbitraire^[1].

Il suit de là, en particulier, que l’équation générale des surfaces coniques du second ordre qui ont leur sommet ou centre à l’origine est de la forme

1. On brusque d’ordinaire cette conclusion, en s’étayant d’une certaine propriété de l’élimination. Mais on sent qu’à moins de démontrer préalablement cette propriété, à priori, ce qui ne paraît pas facile, l’élève n’y peut voir qu’une sorte de qualité occulte, dont l’emploi, dans les sciences exactes, doit lui paraître assez surprenant.

   Nous ne prétendons pas, au surplus, que l’on soit tenu de répéter le long raisonnement que nous venons de faire toutes les fois qu’on se retrouvera dans les mêmes circonstances ; mais nous pensons que du moins il faudra le répéter aussi long-temps que l’élève ne sera pas en état de le suppléer facilement de lui-même.