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$A\left({\frac {x}{z}}\right)+B\left({\frac {y}{z}}\right)+2C{\frac {x}{z}}.{\frac {y}{z}}+2A'{\frac {x}{z}}+2B'{\frac {y}{z}}+C'=0\,;$

c’est-à-dire,

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2A'xz+2B'yz+C'z^{2}=0.\quad$(4)

Soit coupée cette surface par un plan parallèle au plan des $xy,$ et conséquemment par un plan quelconque, puisque le plan des $xy$ est supposé de direction quelconque par rapport à elle. En désignant par $k$ la distance entre ces deux plans, mesurée parallèlement à l’axe des $z,$ l’équation de la projection de la section sur le plan des $xy$ sera

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2A'kx+2B'ky+C'k^{2}=0\,;\quad$(5)

et cette section, comme l’on sait, sera appelée

Ellipse,$\quad \$ si l’on a $C^{2}-AB<0,$

Parabole,$\,\ \$si l’on a $C^{2}-AB=0,$

Hyperbole, si l’on a $C^{2}-AB>0.$

D’un autre côté, si, dans l’équation (4), on fait $z=0,$ l’équation résultante

$A^{2}x+By^{2}+2Cxy=0,\qquad$(6)

sera celle de la section de la surface conique par le plan des $xy\,;$ c’est-à-dire, par un plan mené par son sommet, parallèlement au plan coupant. Or, en résolvant cette dernière équation par rapport à $y\,;$ on démontre aisément qu’elle exprime