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$(x-P)^{3}+{\frac {3P^{4}-6pP^{2}+12qP-p^{2}}{12P}}=0\,;$

ce qui donne, sur-le-champ,

$x=P-{\sqrt[{3}]{\frac {3P^{4}-6pP^{2}+12qP-p^{2}}{12P}}}.\qquad$(4)

En changeant $P$ en $-P',$ cette formule devient

$x=-P'+{\sqrt[{3}]{\frac {3P'^{4}-6pP'^{2}-12qP'-p^{2}}{12P'}}}.\qquad$(5)

Ainsi, quelques valeurs positives qu’on prenne pour $P$ et $P',$ les valeurs de $x$ données par les formules (4) et (5), substituées dans le premier membre de l’équation (1), donneront nécessairement des résultats de signes contraires, et comprendront conséquemment entre elles une racine au moins de cette équation.

Soit, en second lieu, l’équation du 5.^me degré, sans second terme,

$x^{5}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0.\qquad$(1)

Posons

$x^{5}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=5P\left(x^{2}+ax+b\right)^{2}+Q(x+c)^{2}\,;\qquad$(2)

$P,Q,a,b,c$ étant indéterminées, et $P$ et $Q$ étant supposés de mêmes signes. Il est clair que toute valeur de $x$ tirée de (2) donnera, par sa substitution dans le premier membre de (1), un résultat de même signe que $P$ et $Q\,;$ de sorte que toute valeur réelle de $x$ dans (1) sera nécessairement comprise, quelles que soient d’ailleurs $a,b,c$ y entre deux valeurs de $x$ dans (2) répondant à deux systèmes de valeurs de $P$ et $Q$ de signes contraires. Tout