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se réduit donc à profiter de l’indétermination de $a,b,c$ pour rendre cette équation (2) facilement résoluble.

En développant, transposant et ordonnant, elle devient

${\begin{array}{r|r|r|r|l}x^{5}-5Px^{4}-10Pa&x^{3}-10Pb&x^{2}-2Qc&x-5Pb^{2}&=0.\qquad (\mathrm {3} )\\+p&-5Pa^{2}&-10Pab&-Qc^{2}&\\&-Q&+r&+s&\\&+q&&\end{array}}$

Or, si l’on pose

$-10Pa+p=10P^{2},$

$-10Pb-5Pa^{2}-Q+q=-10P^{3},$

$-2Qc-10Pab+r=5P^{4}\,;$

ce qui donnera,

$a={\frac {p-10P^{2}}{10P}},$

$b={\frac {100P^{4}+20pP^{2}-20PQ+20qP-p^{2}}{200P^{2}}},$

$c={\frac {199pP^{4}-200P^{3}Q+200qP^{3}-10\left(3p^{2}-20r\right)P^{2}+20pPQ-20pqP+p^{3}}{400P^{2}Q}}\,;$

elle deviendra

$(x-P)^{5}+\left(P^{5}-5b^{2}P-c^{2}Q+s\right)=0,$

dans laquelle présentement on peut regarder $a,b,c$ comme connus et qui donne