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ront respectivement entre elles dans le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction.

Soient donc $(t,u)$ un quelconque des points de la courbe séparatrice, $(x',y')$ et $(x,y)$ les pieds des normales abaissées de ce point sur les deux trajectoires ; et supposons que le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction soit celui de $\lambda '$ à $\lambda \,;$ on aura d’abord

${\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {(t-x')^{2}+(u-y')^{2}}{\lambda '^{2}}}.\qquad$(1)

De plus, parce que les droites menées du point $(t,u)$ aux deux autres sont respectivement normales aux courbes auxquelles elles se terminent, on aura aussi

$(t-x)\operatorname {d} x+(u-y)\operatorname {d} y=0,$ (2)$\quad (t-x')\operatorname {d} x'+(u-y')\operatorname {d} y'=0,\$(2′)

différentiant ensuite la première de ces trois équations, et ayant égard aux deux autres, on trouvera en outre

${\frac {((t-x)\operatorname {d} t+(u-y)\operatorname {d} u}{\lambda ^{2}}}={\frac {(t-x')\operatorname {d} t+(u-y')\operatorname {d} u}{\lambda '^{2}}}\,;\qquad$(3)

équation évidemment comportée par les trois autres ; mais qu’on pourra substituer avec avantage à l’une ou à l’autre des équations (2) et (2′) y lorsque la courbe séparatrice sera donnée. On voit que, dans ce système d’équations, $x,y$ et $\lambda$ figurent de la même manière que $x',y'$ et $\lambda '\,;$ et l’on n’aura pas lieu d’en être surpris, si l’on considère que, le rayon réfracté étant pris pour rayon incident, celui-ci devient rayon réfracté, et vice versâ. Il en résulte que, la courbe séparatrice étant donnée, le problème où l’on cherche la trajectoire orthogonale des rayons incidens, à l’aide de celle des rayons réfractés n’est pas différent de celui où il s’agit de déterminer cette dernière quand l’autre est donnée.