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Enfin les coordonnées de nos trois points doivent être liées par un égal nombre d’équations en $t$ et $u,\ x$ et $y,\ x'$ et $y',$ lesquelles ne sont autres que les équations même de nos trois courbes, équations que nous représenterons respectivement par

$S=0,\qquad$(4)

$T=0,\quad$(5)$\qquad T'=0,\quad$(5′)

la première appartenant à la courbe séparatrice, et les deux autres aux deux trajectoires.

Lorsque, cette courbe séparatrice étant donnée, on demandera de déterminer l’une des trajectoires par l’autre, il ne s’agira, pour cela, que d’éliminer ou les quatre quantités $t,u,x',y',$ entre les cinq équations (1), (2′), (3), (4), (5′), ou bien les quatre quantités $t,u,x,y,$ entre les cinq équations (1), (2), (3), (4), (5) ; et l’équation résultante en $x$ et $y$ ou en $x'$ et $y',$ sera l’équation de la trajectoire cherchée.

Si, au contraire, il s’agit de déterminer la séparatrice, au moyen des deux trajectoires, on y parviendra en éliminant $x,y,x',y',$ entre les cinq équations (1), (2), (2′), (5), (5′) ; ce qui conduira à une équation en $t$ et $u,$ qui sera celle de la courbe demandée.

Quant aux problèmes relatifs à la réflexion, on les résoudra à l’aide des mêmes formules, en y posant préalablement $\lambda +\lambda '=0.$

II. Dans les applications qui vont suivre, nous supposerons constamment que les rayons incidens émanent d’un même point, que nous prendrons constamment pour origine des coordonnées, rectangulaires. Nous aurons ainsi les deux équations,

$x'=0,\qquad y'=0,$

qui remplaceront l’équation (5′), ainsi que l’équation (2′), qui