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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

(104)$\int _{0}^{\infty }e^{a\operatorname {Cos} .bx}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .bx){\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}e^{ae^{-br}}.\quad$^[1]

(105)$\int _{0}^{\infty }e^{a\operatorname {Cos} .bx}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .bx){\frac {x\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}\left(e^{ae^{-bk}}-1\right).$

(106)$\int _{0}^{\infty }x^{a-1}e^{\operatorname {Cos} .bx}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {a\pi }{2}}-\operatorname {Sin} .bx\right){\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}r^{a-1}.e^{e^{-br}}.$

(107)$\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-n}+\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-n}}{2}}\operatorname {l} \left(1+{\frac {s^{2}}{x^{2}}}\right)\operatorname {d} x$

$={\frac {\varpi }{n-2}}\left\{\left({\frac {1}{r}}\right)^{n-1}-\left({\frac {1}{r+s}}\right)^{n-1}\right\}.$

(108)$\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-n}+\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-n}}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .\left({\frac {s}{x}}\right)\operatorname {d} x$

$={\frac {1}{2}}{\frac {\varpi }{n-1}}\left\{{\frac {1}{r^{n}}}-{\frac {1}{(r+s)^{n}}}\right\}.$

(109)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{\operatorname {Cos} .bx}}.{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}.{\frac {e^{a}+e^{-a}}{e^{b}+e^{-b}}}\,;\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ax}{\operatorname {Sin} .bx}}.{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}.{\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{b}-e^{-b}}}.\\\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {x\operatorname {Cos} .ax}{\operatorname {Sin} .bx}}.{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}.{\frac {e^{a}+e^{-a}}{e^{b}-e^{-b}}}\,;\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ax}{x\operatorname {Cos} .bx}}.{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}.{\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{b}+e^{-b}}}.\end{aligned}}\right.$

Les quatre dernières formules supposent $a<b.$

Dans le tableau qui précède, on reconnaît facilement plusieurs formules établies à l’aide de méthodes diverses, par Euler et d’autres géomètres, et particulièrement par MM. Laplace, Legendre et Poisson, et par M. Bidone, géomètre italien. C’est à ce dernier que sont dues les équations (37), les formules (75), (76), et plusieurs autres sont entièrement nouvelles, ou extraites de quelques-uns des mémoires que j’ai déjà publiés sur les intégrales définies.

1. Ces deux dernières formules doivent être déduites, non de la formule
   $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\operatorname {d} x=2\varpi {\sqrt {-1}}\left(\operatorname {f} _{1}+\operatorname {f} _{2}+\operatorname {f} _{3}+\ldots \right)\,;$

   mais de la formule

   $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\operatorname {d} x=2\varpi {\sqrt {-1}}\left(\operatorname {f} _{1}+\operatorname {f} _{2}+\operatorname {f} _{3}+\ldots \right)-\varpi .\operatorname {F} {\sqrt {-1}}\,;$

   $\operatorname {F}$ désignant la valeur que reçoit $\left(x+y{\sqrt {-1}}\right)f\left(x+y{\sqrt {-1}}\right),$ pour $y=\infty .$ (Voy. la première partie du mémoire).