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En désignant, avec M. Legendre, par $\Gamma (a)$ l’intégrale

$\int _{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}\operatorname {d} x,$

et, en suivant la méthode que j’ai indiquée dans le Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires (Paris, in-4.^o, Debure 3 1825), on établit facilement les deux équations

(110)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{bx{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} x}{\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{a}}}={\frac {2\pi }{\Gamma (a)}}b^{a-1}.e^{-br}.\\\\&\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {d} x}{\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{a}\left(s-x{\sqrt {-1}}\right)^{b}}}=2\varpi (r+s)^{1-a-b}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}.\end{aligned}}\right.$

De ces dernières, combinées avec la formule (102), on tire immédiatement

(111)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}+\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}}{2}}.\operatorname {Cos} .bx.\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{2\Gamma (a)}}.b^{a-1}.e^{-br}\,;\\\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}+\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}}{2{\sqrt {-1}}}}.\operatorname {Sin} .bx.\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{2\Gamma (a)}}.b^{a-1}.e^{-br}\,;\end{aligned}}\right.$

et aussi

(112)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}+\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}}{2}}.{\frac {\left(s-x{\sqrt {-1}}\right)^{-b}+\left(s+x{\sqrt {-1}}\right)^{-b}}{2}}.\operatorname {d} x\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\varpi }{2}}(r+s)^{1-a-b}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}.\\\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}-\left(r+x{\sqrt {-1}}\right)^{-a}}{2{\sqrt {-1}}}}.{\frac {\left(s-x{\sqrt {-1}}\right)^{-b}-\left(s+x{\sqrt {-1}}\right)^{-b}}{2{\sqrt {-1}}}}.\operatorname {d} x\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\varpi }{2}}(r+s)^{1-a-b}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}.\end{aligned}}\right.$