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J’ai donné les formules (111) au commencement de 1815, dans un mémoire où elles étaient appliquées à la conversion des différences finies des puissances en intégrales définies, et pour lesquelles MM. Laplace, Legendre et Lacroix furent nommés commissaires. On peut, au reste, opérer cette conversion, en s’appuyant sur la première des formules (110), ou sur une autre formule qui s’accorde avec elle, et qui a été donnée par M. Laplace.

Enfin on tire des formules (87), en faisant $r=1,$ puis écrivant $z$ au lieu de $b,$

(113) $\operatorname {Cos} .z={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Sin} .zx.{\frac {x\operatorname {d} x}{x^{2}-1}}\,;\quad \operatorname {Sin} .z={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Cos} .zx.{\frac {x\operatorname {d} x}{1-x^{2}}}.$

Ces dernières fournissent le moyen de remplacer le cosinus d’un arc positif $z$, par le sinus d’un arc variable, proportionnel à $z$, et le sinus du premier arc par le cosinus du second. Cette propriété des formules (113) peut être utile dans la solution de quelques problèmes. C’est effectivement à l’aide des formules dont il s’agit que j’étais d’abord parvenu, en 1815, à résoudre la question de la propagation des ondes, ainsi qu’on peut le voir dans la note XVIII, placée à la suite du mémoire déjà cité.

Si, dans l’intégrale (74), on pose $x=e^{-p},$ elle prendra la forme

(114)$\quad \int _{0}^{\infty }\left[e^{ap}.\varphi \left(e^{p}\right)+(-1)^{n}e^{-ap}.\varphi \left(e^{-p}\right)\right]p^{n}\operatorname {d} p.$

Par conséquent, les méthodes ci-dessus exposées fourniront la valeur de l’intégrale (114), qui ne diffère pas de la suivante

$\int _{-\infty }^{+\infty }p^{n}e^{ap}\varphi \left(e^{p}\right)\operatorname {d} p.$

Si l’on applique la même transformation aux intégrales (78), (80), (81), (82), (83), (88), (95), … ; puis que l’un écrive $x$ au lieu de $p$, on trouvera