Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/117

(125)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-e^{p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-e^{-p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p=\varpi \left[\operatorname {f} (0)-{\frac {1}{2}}\operatorname {f} (1)\right].\\\\&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-e^{-p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-e^{p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p={\frac {1}{2}}\varpi \operatorname {f} (1)\,;\end{aligned}}\right.$

et enfin, pour $r>1$

(126)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{-p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p=\varpi \left[\operatorname {f} (0)-\operatorname {f} \left({\frac {1}{r}}\right)\right],\\\\&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{-p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p=0.\end{aligned}}\right.$

Lorsque, dans les équations (124), on suppose $r=0,$ elles se réduisent à

(127)$\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)\right]\operatorname {d} p=\varpi \operatorname {f} (0).$

Si, dans celle-ci ; on remplace $\operatorname {f} (x)$ par $\operatorname {f} (b+x),$ et les limites $0,\varpi$ par $-\varpi ,+\varpi ,$ on conclura

(128)$\int _{-\varpi }^{+\varpi }{\frac {1}{2}}\operatorname {f} \left(b+e^{p{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} p=\varpi \operatorname {f} (b).$

De même, si après avoir différentié $n$ fois, par rapport à la quantité $r$, la seconde des équations (124), on y remplace $\operatorname {f} (x)$ par $\operatorname {f} (b+x),$ on en tirera, en posant $r=0,$

(129)$\int _{-\varpi }^{+\varpi }e^{-n\varpi {\sqrt {-1}}}.\operatorname {f} \left(b+e^{p{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} p={\frac {2\pi }{1.2.3\ldots n}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n}.\operatorname {f} (b)}{db^{n}}}.$