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Ces diverses formules, que j’ai données dans le Bulletin de la société philomatique, s’accordent avec d’autres formules du même genre, obtenues par MM. Perseval, Libri et Poisson. Il est facile de les étendre à des valeurs négatives, ou même à des valeurs imaginaires des constantes $r$ et $b$ . Ainsi, par exemple, on reconnaîtra sans peine que les équations (124) subsistent pour toutes les valeurs de $r$ , réelles ou imaginaires, dont le module est inférieur à l’unité. La seconde de ces équations, présentée sous la forme

(130)

\qquad \operatorname {f} (r)={\frac {1}{2\varpi }}\int _{-\varpi }^{+\varpi }{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{-p{\sqrt {-1}}}}}\operatorname {d} p,

offre évidemment le moyen de convertir une fonction donnée de $r,$ considérée comme variable, en une intégrale définie, dans laquelle la fonction sous le signe se réduise à une fraction dont le numérateur soit indépendant de $r$ , et le dénominateur une fonction linéaire de cette variable.

Si, dans l’équation (122), on pose successivement

\varphi (u)={\frac {\operatorname {f} (u)}{r-{\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)}},\qquad \varphi (u)={\frac {\operatorname {f} (u)}{r+{\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)}}\,;

$r$ désignant une constante positive, et $\operatorname {f} (u)$ une fonction qui conserve une valeur fixe, pour toutes les valeurs de $u$ , réelles ou imaginaires, dont le module est inférieur à l’unité ; on trouvera

(131)

\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{2}}.{\frac {\operatorname {d} p}{r-\operatorname {Cos} .p}}

={\frac {\operatorname {f} \left[r-\left(1-r^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {-1}}\right]-\operatorname {f} \left[r+\left(1-r^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {-1}}\right]}{2\left(1-r^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {-1}}}}\,;