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Si maintenant on attribue aux fonctions $\operatorname {f} (x),\varphi (x),$ ou bien aux constantes $r,a,\ldots$ des valeurs particulières, on déduira immédiatement des formules ci-dessus établies les valeurs d’un grand nombre d’intégrales définies, dont plusieurs étaient déjà connues. Je me contenterai de citer ici quelques-uns des résultats les plus simples.

(157)$\qquad \int _{-\varpi }^{+\varpi }e^{-np{\sqrt {-1}}+be^{p{\sqrt {-1}}}}\operatorname {d} p=2\varpi {\frac {b^{n}}{1.2.3\ldots n}}.$

(158)$\qquad \int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Tang} .{\frac {p}{2}}\right)^{a}\operatorname {d} p={\frac {\varpi }{\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{2}}}}$

(159)$\qquad \int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {ap}{2}}}{\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a}}}\operatorname {d} p=\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {a}{2}}(\varpi -p)}{\left(\operatorname {Sin} .{\frac {p}{2}}\right)^{a}}}\operatorname {d} p=2^{a}\varpi .$

(160)$\qquad \int _{0}^{\varpi }\operatorname {l} .\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\operatorname {d} p=\int _{0}^{\varpi }\operatorname {l} .\operatorname {Sin} .{\frac {p}{2}}\operatorname {d} p=\varpi \operatorname {l} \left({\frac {1}{2}}\right).$

(161)$\qquad \int _{0}^{\varpi }{\frac {p\operatorname {Sin} .p}{1-\operatorname {Cos} .p}}\operatorname {d} p=\int _{0}^{\varpi }{\frac {1+\operatorname {Cos} .p}{\operatorname {Sin} .p}}p\operatorname {d} p=2\varpi .\operatorname {l} (2).$

(162)$\qquad \int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {l} .\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}}{\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left(\operatorname {l} .\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{2}}}\operatorname {d} p=\varpi \left[1-{\frac {1}{\operatorname {l} (2)}}\right].$

(163)$\qquad \int _{0}^{\varpi }{\frac {{\frac {p}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {p}{2}}}{\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left(\operatorname {l} .\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{2}}}\operatorname {d} p={\frac {\pi }{\operatorname {l} (2)}}.$

On trouvera de même, pour $r<1$