(187)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {ap}{2}}.\operatorname {Cos} .{\frac {bp}{2}}\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}},\\\\&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Sin} .{\frac {ap}{2}}.\operatorname {Sin} .{\frac {bp}{2}}\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52f0c24e5568c1f2dd1aaf78f556535fffc18a0)
(188)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {b-a}{2}}p\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}},\\\\&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {a+b}{2}}p\operatorname {d} p=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76443b010c08da1714173cdcfe052220cb4888e7)
Les deux dernières formules peuvent être remplacées par la suivante
(189)
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\operatorname {Cos} .p)^{a}\operatorname {Cos} .bp.\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+1}}}.{\frac {\Gamma (a+1)}{\Gamma \left({\frac {a+b}{2}}+1\right).\Gamma \left({\frac {a-b}{2}}+1\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16b6be275156660a0fb53e8389b991d094da409)
que l’on déduit également des équations (183), dans le cas particulier ou la demi-somme équivaut à un nombre entier.
La formule (189), dans laquelle les constantes
et
peuvent recevoir des valeurs réelles ou des valeurs imaginaires, cesse d’exister, toutes les fois que l’intégrale contenue dans le premier membre devient infinie ; par exemple, quand la constante
, ayant une valeur réelle, devient inférieure à
Si, dans la même formule, on remplace
par
on trouvera
(190)
![{\displaystyle \qquad \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\operatorname {Cos} .p)^{a}{\frac {e^{bp}+e^{-bp}}{2}}\operatorname {d} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2b9fe06fa6ae6655a2de19084f52e29b947d92)
![{\displaystyle ={\frac {\varpi }{2^{a+1}}}.{\frac {\Gamma (a+1)}{\left[\int _{0}^{\infty }x^{\frac {a}{2}}.\operatorname {Cos} .{\frac {b\operatorname {l} x}{2}}e^{-x}\operatorname {d} x\right]^{2}+\left[\int _{0}^{\infty }x^{\frac {a}{2}}.\operatorname {Sec} .{\frac {b\operatorname {l} x}{2}}e^{-x}\operatorname {d} x\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91937acc55a7648c24f8abf066ead2741c435c00)