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(187)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {ap}{2}}.\operatorname {Cos} .{\frac {bp}{2}}\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}},\\\\&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Sin} .{\frac {ap}{2}}.\operatorname {Sin} .{\frac {bp}{2}}\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}}.\end{aligned}}\right.$

(188)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {b-a}{2}}p\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+b-1}}}.{\frac {\Gamma (a+b-1)}{\Gamma (a).\Gamma (b)}},\\\\&\int _{0}^{\varpi }\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p}{2}}\right)^{a+b-2}.\operatorname {Cos} .{\frac {a+b}{2}}p\operatorname {d} p=0.\end{aligned}}\right.$

Les deux dernières formules peuvent être remplacées par la suivante

(189)$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\operatorname {Cos} .p)^{a}\operatorname {Cos} .bp.\operatorname {d} p={\frac {\pi }{2^{a+1}}}.{\frac {\Gamma (a+1)}{\Gamma \left({\frac {a+b}{2}}+1\right).\Gamma \left({\frac {a-b}{2}}+1\right)}}\,;$

que l’on déduit également des équations (183), dans le cas particulier ou la demi-somme équivaut à un nombre entier.

La formule (189), dans laquelle les constantes $a$ et $b$ peuvent recevoir des valeurs réelles ou des valeurs imaginaires, cesse d’exister, toutes les fois que l’intégrale contenue dans le premier membre devient infinie ; par exemple, quand la constante $a$, ayant une valeur réelle, devient inférieure à $-1.$

Si, dans la même formule, on remplace $b$ par $b{\sqrt {-1}},$ on trouvera

(190)$\qquad \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\operatorname {Cos} .p)^{a}{\frac {e^{bp}+e^{-bp}}{2}}\operatorname {d} p$

$={\frac {\varpi }{2^{a+1}}}.{\frac {\Gamma (a+1)}{\left[\int _{0}^{\infty }x^{\frac {a}{2}}.\operatorname {Cos} .{\frac {b\operatorname {l} x}{2}}e^{-x}\operatorname {d} x\right]^{2}+\left[\int _{0}^{\infty }x^{\frac {a}{2}}.\operatorname {Sec} .{\frac {b\operatorname {l} x}{2}}e^{-x}\operatorname {d} x\right]^{2}}}$