Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/136

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]=3\left[(x+a)u-(y+b)t\right]^{2},$ (5)

Si présentement on pose, pour abréger,

$x+a=rA,\qquad y+b=rB,$

$t=rp,\qquad u=rq,\qquad ax+by=r^{2}C,$

$4(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}s)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]=3r^{4}R^{2},$

les équations (1), (4), (5) deviendront

${\begin{array}{rlr}p^{2}+q^{2}&=1,&(\mathrm {6} )\\\\Ap^{3}+Bq^{3}&=C,&(\mathrm {7} )\\\\Ap-Bq&=R,&(\mathrm {8} )\end{array}}$

et tout se réduira à éliminer $p$ et $q$ entre elles.

Les équations (6) et (8) donnent

$q=+{\frac {AR\pm B{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}}{A^{2}+B^{2}}},\qquad p=-{\frac {BR\mp A{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}}{A^{2}+B^{2}}}\,;$

d’où, en substituant dans (7) et chassant le dénominateur,

$A\left\{AR\pm B{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}\right\}^{3}-B\left\{BR\mp A{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}\right\}^{3}=C\left(A^{2}+B^{2}\right)^{3}.$

Par l’effet du développement des puissances dans le premier membre et des réductions qui en résultent, l’équation devient divisible par $A^{2}+B^{2}$ et se réduit à

$\pm AB\left(A^{2}+B^{2}+2R^{2}\right){\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}=\left(A^{2}+B^{2}\right)^{2}C-\left(A^{2}-B^{2}\right)R^{3}.$