![{\displaystyle 4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]=3\left[(x+a)u-(y+b)t\right]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1059535239c6d2b2bf088e6d94add9b84488e6aa)
(5)
Si présentement on pose, pour abréger,
![{\displaystyle x+a=rA,\qquad y+b=rB,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f1df3561145beb00ec138e7bd2d0d6e5c7b803)
![{\displaystyle t=rp,\qquad u=rq,\qquad ax+by=r^{2}C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec49a87c6cff3ff8316810f85c8a5bd0d2be5b3)
![{\displaystyle 4(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}s)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]=3r^{4}R^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74865ddf2d207ef31f41e88910d3b9c63dfaac86)
les équations (1), (4), (5) deviendront
![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}p^{2}+q^{2}&=1,&(\mathrm {6} )\\\\Ap^{3}+Bq^{3}&=C,&(\mathrm {7} )\\\\Ap-Bq&=R,&(\mathrm {8} )\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f8487df7882f5a8eedec14e19695f9bc2cec9f)
et tout se réduira à éliminer
et
entre elles.
Les équations (6) et (8) donnent
![{\displaystyle q=+{\frac {AR\pm B{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}}{A^{2}+B^{2}}},\qquad p=-{\frac {BR\mp A{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}}{A^{2}+B^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf18c1f772bdad62958cbf3bfed95a4ea513e571)
d’où, en substituant dans (7) et chassant le dénominateur,
![{\displaystyle A\left\{AR\pm B{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}\right\}^{3}-B\left\{BR\mp A{\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}\right\}^{3}=C\left(A^{2}+B^{2}\right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03cf975f592bd4a7ec020bdff57361de9e16876)
Par l’effet du développement des puissances dans le premier membre et des réductions qui en résultent, l’équation devient divisible par
et se réduit à
![{\displaystyle \pm AB\left(A^{2}+B^{2}+2R^{2}\right){\sqrt {A^{2}+B^{2}-R^{2}}}=\left(A^{2}+B^{2}\right)^{2}C-\left(A^{2}-B^{2}\right)R^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92671769277decf749be91dbe8473fe7e2648f42)