En quarrant, développant et ordonnant par rapport à l’équation devient en outre divisible par et se réduit à
ou encore
Or, on a
donc, en substituant, extrayant la racine quarrée des deux membres et transposant,
Quarrant de nouveau et multipliant par il viendra
remettant enfin pour leurs valeurs, on aura, pour l’équation de la caustique cherchée
À cause du double signe du second membre, cette équation exprime deux courbes distinctes, et il importe de découvrir laquelle de ces deux courbes est la véritable caustique. Pour y parvenir rappelons-nous ce que nous avons remarqué ci-dessus, que les points où le cercle réfléchissant est coupé par la polaire du point sont des points de la courbe ; or ces points sont donnés par le système des deux équations
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dont l’une est l’équation du cercle lui-même et l’autre celle de la polaire dont il s’agit ; il faudra donc que l’équation de la caustique soit satisfaite par le système de ces deux-là. Si de plus, pour un moment, nous faisons passer l’axe des par le point rayonnant, ce qui donnera l’équation de la caustique deviendra