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En quarrant, développant et ordonnant par rapport à $R,$ l’équation devient en outre divisible par $\left(A^{2}+B^{2}\right)^{2}$ et se réduit à

$A^{2}B^{2}\left(3R^{2}+A^{2}+B^{2}\right)=R^{6}-2\left(A^{2}-B^{2}\right)CR^{3}+\left(A^{2}+B^{2}\right)^{2}C^{2},$

ou encore

$A^{2}B^{2}\left(3R^{2}+A^{2}+B^{2}-4C^{2}\right)=\left\{R^{3}-C\left(A^{2}-B^{2}\right)\right\}^{2}.$

Or, on a

$3R^{2}+A^{2}+B^{2}-4C^{2}=\left(2.{\frac {ax-by}{r^{2}}}\right)^{2}\,;$

donc, en substituant, extrayant la racine quarrée des deux membres et transposant,

$R^{3}=C\left(A^{2}-B^{2}\right)\pm 2AB.{\frac {ax-by}{r^{2}}}.$

Quarrant de nouveau et multipliant par $27r^{12},$ il viendra

$\left(3r^{4}R^{2}\right)^{3}=27r^{4}\left\{r^{4}C\left(A^{2}-B^{2}\right)\pm 2r^{2}AB(ax-by)\right\}^{2}\,;$

remettant enfin pour $A,B,C,R$ leurs valeurs, on aura, pour l’équation de la caustique cherchée

$\left\{4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27r^{4}\left\{(ay+bx)\left[(x+a)^{2}-(y+b)^{2}\right]\pm 2(x+a)(y+b)(ax-by)\right\}^{2}.$

À cause du double signe du second membre, cette équation exprime deux courbes distinctes, et il importe de découvrir laquelle de ces deux courbes est la véritable caustique. Pour y parvenir rappelons-nous ce que nous avons remarqué ci-dessus, que les points où le cercle réfléchissant est coupé par la polaire du point $(a,b),$ sont des points de la courbe ; or ces points sont donnés par le système des deux équations

$x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad ax+by=r^{2},\qquad$(9)

dont l’une est l’équation du cercle lui-même et l’autre celle de la polaire dont il s’agit ; il faudra donc que l’équation de la caustique soit satisfaite par le système de ces deux-là. Si de plus, pour un moment, nous faisons passer l’axe des $x$ par le point rayonnant, ce qui donnera $b=0,$ l’équation de la caustique deviendra