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$\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B'}$ doit aussi passer par le point $\mathrm {C'}$ ; donc enfin ces trois points doivent appartenir à une même droite^[1].

Si par le point $\mathrm {C'}$ on mène une nouvelle transversale, coupant respectivement en $\mathrm {A'',B''}$ les directions des côtés $\mathrm {CB,CA,}$ on aura pareillement

1. On peut déduire de là une démonstration fort simple de la propriété de l’hexagone inscrit au cercle, démonstration dont l’idée nous a été suggérée par la lecture du mémoire de M. Sturm dont une partie a déjà paru dans le présent recueil.

   Soient $a,a',b,b',c,c'$ les sommets consécutifs de cet hexagone. Soient

   $\mathrm {A'}$ le point de concours des côtés opposés $aa'$ et $b'c,$
   $\mathrm {B'}$ le point de concours des côtés opposés $bb'$ et $c'a,$
   $\mathrm {C'}$ le point de concours des côtés opposés $cc'$ et $a'b,$

   Soient en outre

   $\mathrm {A}$ le point de concours des côtés $bb'$ et $cc',$
   $\mathrm {B}$ le point de concours des côtés $cc'$ et $aa',$
   $\mathrm {C}$ le point de concours des côtés $aa'$ et $bb'.$

   En se rappelant les propriétés des sécantes qui partent d’un même point, et considérant tour-à-tour $ac',cb',ba'$ comme des transversales par rapport au triangle $\mathrm {ABC,}$ on aura

   ${\begin{array}{rlrl}\mathrm {A} c\times \mathrm {A} c'&=\mathrm {A} b\times \mathrm {A} b',&\mathrm {AB'} \times \mathrm {C} a\times \mathrm {B} c'&=\mathrm {CB'} \times \mathrm {B} a\times \mathrm {A} c',\\\\\mathrm {B} a\times \mathrm {B} a'&=\mathrm {B} c\times \mathrm {B} c',&\mathrm {Bc'} \times \mathrm {A} b\times \mathrm {C} a'&=\mathrm {Ac'} \times \mathrm {C} b\times \mathrm {B} a',\\\\\mathrm {C} b\times \mathrm {C} b'&=\mathrm {C} a\times \mathrm {C} a',&\mathrm {CA'} \times \mathrm {B} c\times \mathrm {A} b'&=\mathrm {BA'} \times \mathrm {A} c\times \mathrm {C} b'\,;\end{array}}$

   équations qui, multipliées entre elles, donneront, en réduisant,