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$\mathrm {AB''\times BC'\times CA''=BA''\times CB''\times AC'} \,;\qquad$(3)

d’où, en divisant (1) par (3),

$\mathrm {{\frac {AB'}{AB''}}\times {\frac {CA'}{CA''}}={\frac {BA'}{BA''}}\times {\frac {CB'}{CB''}}} \,;$

c’est-à-dire,

$\mathrm {{\frac {CA'}{CA''}}:{\frac {CB'}{CB''}}::{\frac {BA'}{BA''}}:{\frac {AB'}{AB''}}} \,;\qquad$(4)

et il est aisé de voir que réciproquement, si cette proportion a lieu, les deux transversales $\mathrm {A'B',A''B''}$ iront concourir en un point de la direction de $\mathrm {AB,}$ si du moins elles ne lui sont pas parallèles.

II. Par un quelconque $\mathrm {P}$ des points du plan d’un triangle $\mathrm {ABC,}$ et par chacun de ses sommets, soient menées les droites $\mathrm {AP,BP,CP,}$ rencontrant respectivement les directions des côtés opposés en $\mathrm {A',B',C'.}$ Si le point $\mathrm {P}$ est intérieur au triangle, les trois points $\mathrm {A',B',C'}$ seront sur ses côtés même ; tandis que si, au contraire, il lui est extérieur, deux d’entre eux seront sur les prolongemens des côtés ; tellement que, dans tous les cas, le nombre de ceux

$\mathrm {AB'\times BC'\times CA'=BA'\times CB'\times AC'} \,;$

ce qui prouve que les trois points $\mathrm {A',B',C'}$ sont en ligne droite.

Voilà donc le beau théorème de Pascal démontré fort simplement pour le cercle, et on en peut aisément conclure le théorème analogue de M. Brianchon, par la théorie des pôles, susceptible aussi, pour le cercle, d’une exposition fort élémentaire. Ces deux théorèmes, si féconds en belles conséquences, peuvent donc figurer, pour ainsi dire des l’entrée, dans les élémens de géométrie où on finira sans doute tôt ou tard par les introduire, au lieu de les reléguer, comme on l’a fait jusqu’ici, dans des traités spéciaux.

J. D. G.