Ce théorème, dont la démonstration est très-élémentaire, fournit déjà, tel qu’il vient d’être annoncé, un procédé tellement brief pour le calcul du nombre qu’on ne saurait désormais raisonnablement se refuser à l’introduire dans les traités de géométrie. C’est un exemple qui a été donné récemment par M. Vincent, professeur à Reims, et qui sera sans doute imité par d’autres géomètres.
Mais l’application du théorème de M. Scha\alphab à la recherche du nombre est susceptible de diverses abréviations très-notables, qui paraissent avoir échappé à l’inventeur, et que nous avons fait connaître à l’endroit cité. On pourrait seulement nous reprocher d’avoir justifié ces simplifications par des procédés ou trop peu élégans ou trop peu géométriques ; et c’est ce qui nous détermine à revenir de nouveau ici sur ce sujet.
D’abord, puisque les termes de la suite convergent vers une limite commune, ils tendent conséquemment à devenir égaux ; et, comme on ne les calcule que par approximation, ils deviennent bientôt égaux en effet. Dès lors l’opération est terminée, et on peut regarder le dernier d’entre eux comme exprimant, dans les limites de l’approximation adoptée, le rayon du cercle dont la circonférence est quatre.
Mais, long-temps avant que ces termes soient devenus tout-à-fait égaux, on doit rencontrer deux termes consécutifs qui se ressemblent dans plus de la moitié de leurs chiffres de gauche, et il est clair qu’à plus forte raison, il en sera de même de tous ceux qui les suivront ; or, une fois parvenu à ce point, on pourra, dans les limites de l’approximation adoptée, substituer de simples demi-sommes aux racines quarrées de produits, ce qui permettra de poursuivre le calcul de la suite par un procédé tout-à-fait simple et uniforme.
Comme on doit calculer tous les termes avec un même nombre de chiffres décimaux, on peut, pour prouver cette assertion, faire abstraction de la virgule. Tout se réduit alors à prouver que, si deux
