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nombres entiers, d’un même nombre de chiffres, se ressemblent dans plus de la moitié de leurs chiffres de gauche, leur demi-somme n’excédera pas d’une demi-unité la racine quarrée de leur produit.

Soient, en effet, $a$ et b ces deux nombres ; d’après l’hypothèse, le nombre des chiffres de leur différence $a-b$ sera moindre que la moitié du nombre des chiffres de chacun d’eux, et, à plus forte raison, moindre que le nombre des chiffres de leur somme $a+b$ et, à plus forte raison encore, moindre que la moitié du nombre des chiffres de cette somme augmentée de $2{\sqrt {ab}}$ ou $\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{2}$ ; et, comme le nombre des chiffres de $(a-b)^{2}$ est, au plus, double du nombre des chiffres de $a-b,$ on aura

$(a-b)^{2}<\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{2},\quad$ou bien$\quad a-b<{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\,;$

mais $a-b<\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)\,;$ donc

${\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}<1,\quad$ou bien$\quad \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}<1,$

c’est-à-dire,

$a+b-2{\sqrt {ab}}<1,\quad$ou bien$\quad {\frac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}<{\frac {1}{2}}$

comme nous l’avions annoncé.

Soient $a$ et $b$ les deux termes à partir desquels on peut continuer la suite en prenant simplement chaque terme égal à la demi-somme des deux qui le précèdent immédiatement, et soient $c,d,e,\ldots$ ceux qui suivent ces deux-là. Si l’on suppose que $a$ et $b$ soient les deux bases d’un trapèze, $c$ sera la parallèle équidistante de $a$ et $b,\ d$ la parallèle équidistante de $b$ et $c,\ e$ la parallèle équidistante de $c$ et $d$, et ainsi de suite. La limite vers laquelle convergeront les termes de la suite ne sera donc autre chose que la limite vers laquelle convergeront ces parallèles successives. Concevons qu’on leur mène une perpendiculaire commune, cou-