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Soient $M$ la masse du pendule $Mk^{2},$ son moment d’inertie par rapport à un axe idéal, conduit par son centre de gravité, parallèlement à ses axes effectifs, $r,r',r''$ les distances de cet axe idéal aux trois autres ; les longueurs des pendules simples isochrones avec celui-là, pour ses trois points de suspension, seront respectivement (Traité de mécanique de M. Poisson, tom. II, pag. 116.)

${\frac {k^{2}+r^{2}}{r}},\qquad {\frac {k^{2}+r'^{2}}{r'}},\qquad {\frac {k^{2}+r''^{2}}{r''}},$

de sorte que, si $t,t',t''$ sont les durées respectives des oscillations du pendule, pour ses trois points de suspension, en représentant par $g$ la gravité et par $\varpi$ la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, on aura (Ibid., pag. 117).

$t=\varpi {\sqrt {\frac {k^{2}+r^{2}}{r}}},\qquad t'=\varpi {\sqrt {\frac {k^{2}+r'^{2}}{r'}}},\qquad t''=\varpi {\sqrt {\frac {k^{2}+r''^{2}}{r''}}}\,;$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}gt^{2}r&=\varpi ^{2}\left(k^{2}+r^{2}\right),\\\\gt'^{2}r'&=\varpi ^{2}\left(k^{2}+r'^{2}\right),\\\\gt''^{2}r''&=\varpi ^{2}\left(k^{2}+r''^{2}\right).\end{aligned}}$

Si l’on pose

$r'-r''=a,\qquad r''-r=a',\qquad r-r'=a'',$

d’où

$a+a'+a''=0,$

en prenant les différences de ces équations deux à deux, il viendra

${\begin{aligned}g\left(t'^{2}r'-t''^{2}r''\right)&=\varpi ^{2}a(r'+r''),\\\\\end{aligned}}$