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sentant par $a$ une longueur donnée, si $(t,u,v)$ est un quelconque des points de la spirale conique, on aura

$t^{2}+u^{2}=v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \qquad$(1)

$a\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .{\frac {u}{t}}\right)={\sqrt {t^{2}+u^{2}}}=v\operatorname {Tang} .\alpha$

ou bien

${\frac {u}{t}}=\operatorname {Tang} .{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\qquad$(2)

équations d’où on tirera

$t=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right),\quad u=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\,;$ (3)

et ensuite, par différentiation

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}=\left\{\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)-{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\\&{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}=\left\{\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)+{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha .\end{aligned}}\right\}$(4)

Mais si $(x,y,z)$ est un quelconque des points de la tangente à la spirale conique au point $(t,u,v),$ on devra avoir, comme l’on sait,

${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}={\frac {x-t}{x-v}},\qquad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}={\frac {y-u}{z-v}},\qquad$(5)

ou bien, en mettant pour $t$ et $u$ leurs valeurs (3)