Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/165

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}={\frac {x-v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)}{z-v}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}={\frac {y-v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)}{z-v}}\,;\end{aligned}}\right\}(6)$

égalant donc respectivement ces valeurs aux valeurs (4) il viendra, eu réduisant,

$\left.{\begin{aligned}&\left\{z\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)-(z-v).{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha =x,\\\\&\left\{z\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)+(z-v).{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha =y\end{aligned}}\right\}(7)$

l’élimination de $v$ entre ces deux équations conduira à l’équation en $x,y,z$ de la surface cherchée.

Pour l’obtenir facilement, prenons la somme des quarrés de ces deux équations ; nous aurons ainsi

$\left\{z^{2}+v^{2}(z-v)^{2}{\frac {\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{a^{2}}}\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =x^{2}+y^{2}.$

ou bien

$v^{2}(z-v)^{2}\operatorname {Tang} .^{4}\alpha =a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)\,;$

d’où, en extrayant la racine quarrée

$v(z-v)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =-a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}.\qquad$(8)

Nous donnons le signe $-$ au second membre attendu que, lorsque $z=0$, le premier devient essentiellement négatif.

Cette équation (8), résolue par rapport à $v$ donne