![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}={\frac {x-v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)}{z-v}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}={\frac {y-v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)}{z-v}}\,;\end{aligned}}\right\}(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabb5d0dafe45c32ebcd59de7a7f1e42d7e6ff54)
égalant donc respectivement ces valeurs aux valeurs (4) il viendra, eu réduisant,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left\{z\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)-(z-v).{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha =x,\\\\&\left\{z\operatorname {Sin} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)+(z-v).{\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}\right)\right\}\operatorname {Tang} .\alpha =y\end{aligned}}\right\}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e2447b0b98fde2eac53dd65f6c5f0ec4ceb3a9)
l’élimination de
entre ces deux équations conduira à l’équation en
de la surface cherchée.
Pour l’obtenir facilement, prenons la somme des quarrés de ces deux équations ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle \left\{z^{2}+v^{2}(z-v)^{2}{\frac {\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{a^{2}}}\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =x^{2}+y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049400949eceb9fcc16da4cbd85efa80f30faf55)
ou bien
![{\displaystyle v^{2}(z-v)^{2}\operatorname {Tang} .^{4}\alpha =a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045d914dc7dfec50101cc8be622c214089013b05)
d’où, en extrayant la racine quarrée
![{\displaystyle v(z-v)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =-a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238ac24a9ce25de11badeec302851738fc5adb3d)
(8)
Nous donnons le signe
au second membre attendu que, lorsque
, le premier devient essentiellement négatif.
Cette équation (8), résolue par rapport à
donne