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Si l’on veut savoir suivant quelle courbe cette surface est coupée par le plan des $xy,$ il suffira de faire dans son équation $z=0$ ; elle deviendra ainsi

$x\operatorname {Cos} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}+y\operatorname {Sin} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}=0,$

ce qui donne

${\frac {x}{y}}=-\operatorname {Tang} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}\quad$ou$\quad {\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=-{\frac {x}{y}}\right)$

ou encore

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=+a\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=-{\frac {x}{y}}\right)\right\}^{2}\,;\qquad$(12)

ainsi cette courbe est une spirale dans laquelle les rayons vecteurs sont proportionnels aux quarrés des angles que forme leur direction avec l’axe des $x$.

Pour achever de résoudre le problème il nous faut une nouvelle équation de la courbe demandée ; mais, comme cette courbe est décrite par l’extrémité du fil, il nous faudra avoir égard à sa longueur, prise de cette extrémité jusqu’à son point de contact avec le cône. Or, cette longueur est égale à celle de la portion de spirale comprise depuis le même point jusqu’au sommet ; il nous faut donc préalablement obtenir cette dernière longueur.

En prenant la somme des quarrés des équations (4) on trouve

$\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}=\left\{1+{\frac {v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{a^{2}}}\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,$

d’où