Si l’on veut savoir suivant quelle courbe cette surface est coupée par le plan des
il suffira de faire dans son équation
; elle deviendra ainsi
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}+y\operatorname {Sin} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eeca3cd14624c82567b9a4720f03e52bac464dc)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}=-\operatorname {Tang} .{\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438860efbe30261e78b27ad105f3023be3edad5c)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\sqrt[{4}]{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {a}}}=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=-{\frac {x}{y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ad1071c0dc95781203057e6a4cf21eddc3cd08)
ou encore
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=+a\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=-{\frac {x}{y}}\right)\right\}^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d80a680379368920eab401c54a8f974341da64)
(12)
ainsi cette courbe est une spirale dans laquelle les rayons vecteurs sont proportionnels aux quarrés des angles que forme leur direction avec l’axe des
.
Pour achever de résoudre le problème il nous faut une nouvelle équation de la courbe demandée ; mais, comme cette courbe est décrite par l’extrémité du fil, il nous faudra avoir égard à sa longueur, prise de cette extrémité jusqu’à son point de contact avec le cône. Or, cette longueur est égale à celle de la portion de spirale comprise depuis le même point jusqu’au sommet ; il nous faut donc préalablement obtenir cette dernière longueur.
En prenant la somme des quarrés des équations (4) on trouve
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}=\left\{1+{\frac {v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{a^{2}}}\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef6086b5073d446bed112c51977b97641815fba)
d’où