Si l’on veut savoir suivant quelle courbe cette surface est coupée par le plan des il suffira de faire dans son équation ; elle deviendra ainsi
ce qui donne
ou
ou encore
(12)
ainsi cette courbe est une spirale dans laquelle les rayons vecteurs sont proportionnels aux quarrés des angles que forme leur direction avec l’axe des .
Pour achever de résoudre le problème il nous faut une nouvelle équation de la courbe demandée ; mais, comme cette courbe est décrite par l’extrémité du fil, il nous faudra avoir égard à sa longueur, prise de cette extrémité jusqu’à son point de contact avec le cône. Or, cette longueur est égale à celle de la portion de spirale comprise depuis le même point jusqu’au sommet ; il nous faut donc préalablement obtenir cette dernière longueur.
En prenant la somme des quarrés des équations (4) on trouve
d’où