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${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}\alpha +{\frac {v^{2}\operatorname {Tang} .^{4}\alpha }{a^{2}}}}}.$

En posant, pour abréger,

$a=b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha ,$

cette expression deviendra

${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}},\qquad$(13)

ce qui donne, en intégrant,

$s={\frac {b}{2\operatorname {Cos} .\alpha }}\left\{{\frac {v}{b}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}+\operatorname {Log} .\left({\frac {v}{b}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}\right)\right\}.\qquad$(14)

Nous n’ajoutons point de constante, parce que cette intégrale est nulle en même temps que $v$ ; ainsi que cela doit être.

Cela posé, on doit avoir

$s={\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}+(z-v)^{2}}},$

c’est-à-dire, en vertu des formules (5)

$s=(z-v){\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}}}=(z-v){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}},$

ou enfin, par la formule (13)

$s={\frac {z-v}{\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}\,;$

donc (14)