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Il est bon d’observer, des à présent, qu’il peut arriver que l’un des six points de section vienne à coïncider avec son conjugué, ce qui arrivera si la transversale est tangente à une des trois courbes. Il est aisé de voir à quoi se réduiront, dans ce cas, les relations (f), qui constitueront alors une involution de cinq points, suivant l’expression de Desargues. Si en outre la même chose arrive pour deux autres points également conjugués, on retombera

$\left.{\begin{array}{ll}A\ \,(p\ \,+q\ \,)+2D\ \,=0,&A\ \,p\ \,q\ \,-F\ \,=0,\\\\A'\,(p'\,+q'\,)+2D'\,=0,&A'\,p'\,q'\,-F'\,=0,\\\\A''(p''+q'')+2D''=0,&A''p''q''-F''=0,\end{array}}\right\}\quad$(3)

prenant la somme des produits respectifs des équations de chacune de ces deux colonnes par $\lambda ,\lambda ',\lambda '',$ et ayant égard aux relations (2), il viendra

$\lambda (p+q)A+\lambda '(p'+q')A'+\lambda ''(p''+q'')A''=0,$


$\lambda pqA+\lambda 'p'q'A'+\lambda ''p''q''A''=0,$

joignant à ces équations l’équation

$\lambda A+\lambda 'A'+\lambda ''A''=0,$

et éliminant entre elles ${\frac {\lambda 'A'}{\lambda A}}$ et ${\frac {\lambda ''A''}{\lambda A}}$ comme deux inconnues, on obtiendra cette équation

$(p+q)(p'q'-p''q'')+(p'+q')(p''q''-pq)+(p''+q'')(pq-p'q')=0.\qquad$(4)

Or, si dans l’équation

${\frac {(p-p')(p-q')}{(p-p'')(p-q'')}}={\frac {(q-p')(q-q')}{(q-p'')(q-q'')}}\qquad$(5)

on chasse les dénominateurs ; en transposant, réduisant et divisant par $p-q$