sur la relation entre quatre points, que nous avons déjà fait connaître sous le nom de division harmonique.
Nous devons encore placer ici une conséquence immédiate de notre théorie qui nous sera utile dans la suite. On sait que trois cercles tracés sur un même plan et ayant une corde commune, réelle ou idéale, peuvent être envisagés comme trois lignes du second ordre qui ont les mêmes points d’intersection, dont deux situés à l’infini. On peut donc leur appliquer les résultats précéderai et, en les combinant avec la propriété connue des sécantes menées d’un même point à un même cercle, on aura le théorème suivant qui est d’ailleurs facile à démontrer par les élémens : Si trois circonférences tracées sur un même plan, ont une corde commune, réelle ou idéale, et que, d’un point quelconque de l’une d’elles, on mène à volonté deux droites qui coupent respectivement les deux
on obtiendra l’équation (4) ; donc, quand n’est pas nul, l’équation (4) revient à l’équation (5) ; or, cette dernière exprime que les six points d’intersection sont en involution ; donc l’autre l’exprime également.
On sait que les conjugués des diamètres qui, dans les trois courbes, sont parallèles à l’axe des ont pour équations respectives
Or, trois des équations (1) prouvent que ces trois droites concourent eu un même point ; puis donc que l’axe des est une droite arbitraire sur le plan des trois courbes, il en faut conclure que, lorsque trois coniques sont les mêmes intersections, si on leur mène, sous une direction arbitraire, trois diamètres parallèles, les conjugués de ces diamètres concourent nécessairement en un même point. C’est ce que M. Sturm avait déjà établi plus haut, d’une manière un peu différente.
