dre pouvant prendre une infinité de formes et de situations différentes, il s’ensuit que les points de concours de leurs côtés correspondans pourront aussi prendre toutes les situations qu’on voudra. On pourra donc supposer ces trois points donnés à volonté sur le plan de la courbe ; et, pour chaque situation qu’on leur assignera, il existera, en général, deux triangles inscrits dont les côtés correspondans se couperont en ces points ; triangles qu’il sera facile de construire d’après ce qui précède. On obtiendra donc ainsi une construction très-simple et purement linéaire du problème suivant : Inscrire à une ligne donnée du second ordre un triangle dont les côtés passent par trois points donnés ? La solution qui résulte de ce qui précède, et à laquelle M. Gergonne a été conduit par l’analyse (Annales, tom. VII, pag. 325), peut être énoncée comme il suit :
Formez un triangle dont les sommets soient les pôles des droites qui joignent les points donnés, pris deux à deux ; joignez chacun des sommets de ce triangle à celui des trois points donnés qui n’a pas concouru à sa détermination par une droite ; les droites ainsi menées de trois sommets détermineront trois points sur les côtés respectivement opposés. Formant alors un triangle dont ces trois nouveaux points soient les sommets, les côtés de ce triangle, par leurs intersections avec la courbe, détermineront les six sommets des deux triangles cherchés.
Si l’on circonscrit à la même courbe deux triangles dont les points de contact soient les sommets des deux triangles inscrits, il est aisé de voir que ces triangles seront inscrits au triangle dont les sommets sont les pôles des trois points donnés, pris deux à deux ; et de là résulte le moyen de ramener, au problème qui vient detre résolu, cet autre problème : À une ligne donnée du second ordre circonscrire un triangle dont les sommets soient sur trois droites données ? On peut aussi attaquer directement ce problème, à l’aide de ce que nous avons dit ci-dessus sur les propriétés du système de deux triangles circonscrits à une même ligne du second
