Réciproquement, deux triangles circonscrits à une même ligne du second ordre sont par là même inscriptibles à une autre ligne du même ordre. En effet, si deux triangles sont circonscrits à une même ligne du second ordre ; en désignant respectivement par et les points de concours de et et l’hexagone sera circonscrit à la courbe ; d’où il suit que les droites et concourront en un même point ; les trois points seront donc en ligne droite ; d’où il suit que l’hexagone dont les sommets sont précisément ceux de nos deux triangles sera inscriptible à une ligne du second ordre.
De ces théorèmes, dus à M. Brianchon, il résulte que, si un seul triangle est inscrit à une ligne du second ordre et circonscrit à un autre, une infinité d’autres triangles pourront être, à la fois comme celui-là, inscrits à la première courbe et circonscrits à la seconde.
En considérant toujours les mêmes triangles inscrits joignons leurs sommets correspondans par des droites, et soient respectivement, les intersections de et et et On voit d’abord que ces trois points seront situés sur les polaires respectives de Ensuite si l’on mène cette droite sera la polaire du point de la droite ; d’où il suit que contiendra le pôle de et que, par conséquent le point est sur la droite qui joint le point au pôle de Pareillement, les points sont situés sur les droites qui joignent les points avec les pôles des droites et respectivement, d’où résulte ce théorème : Lorsque deux triangles sont inscrits à une même ligne du second ordre, le triangle formé par les trois droites qui joignent les sommets correspondans de ces deux là est tel que chacun de ses sommets se trouve à l’intersection de la polaire du point de concours de deux côtés correspondans des deux premiers avec la droite menée de ce point de concours au pôle de la droite qui joint les deux autres.
Deux triangles inscrits à une même ligne du second ordre or-
