Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/209

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

les deux équations proposées, la première du m.^ième imt et l’autre du n.^ième degré.

Désignons les $n$ racines de (2) par $y,y_{1},y_{2},\ldots y_{n-1}$ en les substituant tour-à-tour dans (1) ; on aura les $n$ fonctions

$\varphi (y),\varphi (y_{1}),\varphi (y_{2}),\ldots \varphi (y_{n-1}).\qquad$(3)

Soient

$\left.{\begin{aligned}&R=\varphi (y_{1}).\varphi (y_{2}).\varphi (y_{3})\ldots \varphi (y_{n-2}).\varphi (y_{n-1}),\\\\&R_{1}=\varphi (y).\varphi (y_{2}).\varphi (y_{3})\ldots \varphi (y_{n-2}).\varphi (y_{n-1}),\\\\&R_{2}=\varphi (y).\varphi (y_{1}).\varphi (y_{3})\ldots \varphi (y_{n-2}).\varphi (y_{n-1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&R_{n-2}=\varphi (y).\varphi (y_{1}).\varphi (y_{2})\ldots \varphi (y_{n-3}).\varphi (y_{n-1}),\\\\&R_{n-1}=\varphi (y).\varphi (y_{1}).\varphi (y_{2})\ldots \varphi (y_{n-3}).\varphi (y_{n-2}).\end{aligned}}\right\}\quad$(4)

Cela posé, soit $\operatorname {f} (y)$ la fonction rationnelle de $y$ dont on veut déterminer la valeur, et désignons par $\theta (y)$ une autre fonction rationnelle quelconque de $y.$ On aura l’équation identique

$\operatorname {f} (y).\theta (y).R=\operatorname {f} (y).\theta (y).R.\qquad$(5)

Maintenant, ayant $\varphi (y)=0,$ On aura

$R_{l}=0,\quad R_{2}=0,\quad R_{3}=0,\ldots R_{n-1}=0,$

et, par suite,

$tR+t_{1}R_{1}+t_{2}R_{2}+t_{3}R_{3}+\ldots t_{n-2}R_{n-2}+t_{n-1}R_{n-1}=tR\,;$

où $t,t_{1},t_{2},\ldots t_{n-2},t_{n-1}$ sont des quantités quelconques.

En faisant donc d’abord