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$x'\left\{2(x'x+y'y)-r^{2}\right\}=2y'(y'x-x'y)$

ou, en réduisant

$2\left(x'^{2}-y'^{2}\right)x+4x'y'y=r^{2}x'.\qquad$(3)

L’équation de la caustique cherchée sera donc le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre les équations (1), (2), (3).

Pour effectuer cette élimination, éliminons tour-à-tour, comme nous l’avons déjà fait ci-dessus, $x$ et $y$ entre les équations (2) et (3) ; en ayant toujours égard à l’équation (4), il viendra

${\begin{array}{rlr}3r^{2}x&=x'\left(r^{2}+2y'^{2}\right),&(4)\\r^{2}y&=y'^{3}.&(5)\end{array}}$

La première de ces équations peut encore s’écrire ainsi

$r^{2}(2x-x')=2x'y'^{2}\,;$

et, en divisant l’équation (5) par cette dernière, il vient

${\frac {2y}{2x-x'}}={\frac {y'}{x'}},\quad$ou$\quad {\frac {y}{x-{\frac {1}{2}}x'}}={\frac {y'}{x'}}$

ce qui signifie que la droite menée par le milieu de l’abscisse du point d’incidence, parallèlement à la normale en ce point, rencontre le rayon réfléchi en son point de contact avec la caustique ; voilà donc un premier moyen graphique de décrire cette courbe par points.

En ajoutant au quarré de l’équation (4) le quadruple du quarré de l’équation (5), on trouvera, en ayant toujours égard à l’équation (1)

$4\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}=3y'^{2}\,;$

d’où