chi avec l’axe des
, et, par suite, avec le rayon incident ; ce rayon réfléchi fera avec la normale, au point d’incidence, un angle dont la tangente tabulaire sera
![{\displaystyle {\frac {p-{\frac {y'}{x'}}}{1+p{\frac {y'}{x'}}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fab5a3729e987086ab9a3de4a9723c499d9653)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \quad {\frac {px'-y'}{x'+py'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4029d2524e44e4bbaf08fa143547fcfcb2c3a51)
puis donc que l’angle d’incidence est
on aura
![{\displaystyle {\frac {px'-y'}{x'+py'}}={\frac {y'}{x'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c62602c566e4a366f054fbdaaf1ef1d0f748b7e)
ce qui donne
![{\displaystyle p={\frac {2x'y'}{x'^{2}-y'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbed24f16899ca7113feed7664b99aa88ef96a70)
L’équation du rayon réfléchi sera donc
![{\displaystyle y-y'={\frac {2x'y'}{x'^{2}-y'^{2}}}(x-x')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466f02f3922fa42ea7b223e832e3c58055c16dfd)
ou bien, en ayant égard à l’équation (1)
![{\displaystyle 2x'y'x-\left(x'^{2}-y'^{2}\right)y=r^{2}y'.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8470e2784b89648d3105f4227a68d18a7c113b)
(2)
On exprimera que la caustique est l’enveloppe de l’espace parcouru par le rayon réfléchi, en éliminant
des dérivées de (1) et (2), prises en regardant
et
comme constans. Or, ces dérivées donnent
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=-{\frac {x'}{y'}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=-{\frac {2(y'x-x'y)}{2(x'x+y'y)-r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01bbb0dc50e25dadef41a91121278b6e969dc7b)
on aura donc pour troisième condition, en égalant ces deux valeurs,