Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/222

sibles de sorte que, dans notre langage, le nombre des intersections de deux courbes sera constamment égal au produit des de grés de leurs équations.

bien que leurs tangentes communes accessibles ; de sorte que, dans notre langage, le nombre des tangentes communes à deux courbes sera constamment égal au produit des degrés de leurs équations.

Ces conventions sont nécessaires pour que nos théorèmes puissent avoir lieu sans aucune restriction.

§. I.

Ces choses ainsi entendues, considérons deux lignes du m.^ième ordre, situées dans un même plan, rapportées aux mêmes axes quelconques, et ayant respectivement pour équations rationnelles, en $x$ et $y$,

$M=0,\quad$(1)$\qquad M'=0\,;\quad$(2)

elles se couperont en $m^{2}$. points qui, dès que $m$ sera plus grand que trois, ne pourront être supposés quelconques, puisqu’alors $m^{2}$ se trouvera surpasser le nombre des points qu’il est permis de prendre au hasard sur un plan, pour déterminer complètement une ligne unique du m.^ième ordre. Dans tous les cas, on obtiendra les coordonnées de ces différens points en considérant $x$ et $y$, dans les équations (1) et (2), comme les deux inconnues d’un même problème déterminé.

Soit représentée par $\lambda$ une constante indéterminée, et soit posée l’équation

$\lambda M+M'=0\,;$^[1]$\qquad$(3)

chacune de nos trois équations sera évidemment comportée par les deux autres, quel que soit $\lambda$ ; de sorte que, de quelque manière qu’on les combine deux à deux, elles donneront exactement les

1. On ne gagnerait évidemment rien à poser $\lambda M+\lambda 'M'=0,$ puisque l’autre équation rentre dans celle-ci en y changeant $\lambda$, qui est quelconque, en ${\frac {\lambda }{\lambda '}}$.