![{\displaystyle {\frac {y}{x-P'}}={\frac {y'}{x'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36cd79068aac02b0b3107191d7c31d9ef4537f4)
ce qui signifie que la parallèle menée par un quelconque des points de la caustique à la normale au point d’incidence correspondant rencontre le diamètre parallèle aux rayons incidens à une distance du centre du cercle réflecteur égale à la longueur du rayon réfléchi.
Occupons-nous présentement de la rectification de la caustique, La formule générale est
![{\displaystyle s=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d868a10cd6ba65eeb17e792d894e04710ed3e701)
(9)
Or, on tire des équations (4) et (5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2r^{2}\operatorname {d} x&=\left(r^{2}+2y'^{2}\right)\operatorname {d} x'+4x'y'\operatorname {d} y',\\r^{2}\operatorname {d} y&=3y'^{2}\operatorname {d} y'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fca4afb178d4843a6ec36da7051b18e3dbf7357)
ce qui donne, en mettant pour
sa valeur
donnée par l’équation (1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2r^{2}\operatorname {d} x&=\left\{\left(r^{2}+2y'^{2}\right)-4x'^{2}\right\}\operatorname {d} x'=3\left(y'^{2}-x'^{2}\right)\operatorname {d} x',\\r^{2}\operatorname {d} y&=-3x'y'\operatorname {d} x'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6edcb62da9534517f442a78d8e786843db8307d)
On tire de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} x&={\frac {3\left(y'^{2}-x'^{2}\right)\operatorname {d} x'}{2r^{2}}}\\\\{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}&=-{\frac {2x'y'}{y'^{2}-x'^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12708b6d2ed0be625f496f63037c77176b0c06a2)
d’où
![{\displaystyle 1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}={\frac {\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}+4x'^{2}y'^{2}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}={\frac {\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{2}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}={\frac {r^{4}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dc828b62d72f5e176f61787400bc6c6737343b)