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substituant toutes ces valeurs dans la formule (9), elle deviendra

$s=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=\int {\frac {3}{2}}\operatorname {d} x'={\frac {3}{2}}x',$

En comptant les arcs de l’axe des $y$, il devient inutile d’ajouter une constante à cette intégrale. Si on la compare à la formule (8), on pourra écrire

$s=x'+P'\,;$

c’est-à-dire que la longueur de la caustique comprise entre le diamètre du cercle réfléchissant perpendiculaire à la direction commune des rayons incidens et un quelconque des points de cette courbe, est égale à la distance de ce point à ce diamètre, augmentée de la longueur du rayon réfléchi qui répond à ce même point. On voit aussi que la longueur totale de la caustique est triple de la longueur du diamètre du cercle réfléchissant.

Cherchons l’équation de la développée de notre caustique. Soit $(X,Y)$ un quelconque des points de cette développée ; l’équation de la normale à la caustique au point $(x,y)$ sera

$(X-x)+(Y-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

ou bien, d’après la valeur trouvée ci-dessus pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$

$(y'^{2}-x'^{2})(X-x)-2x'y'(Y-y)=0\,;$

ou enfin, en mettant pour $x$ et $y$ leurs valeurs tirées des équations (4) et (5) et faisant usage de l’équation (1)

$4x'y'Y+2\left(x'^{2}-y'^{2}\right)X=r^{2}x^{2}\,;\qquad$(10)

c’est l’équation (3), dans laquelle on aurait mis respectivement $X$ et $Y$ pour $x$ et $y.$