per l’une quelconque des deux proposées précisément suivant toutes les lignes et les seules lignes qu’y détermine l’autre.
Réciproquement, toute surface qui coupera l’une quelconque des deux proposées précisément suivant toutes les lignes et suivant les seules lignes qu’y détermine l’autre, devra être une surface du mième ordre dont l’équation soit comportée par les équations (1) et (2) ; cette équation devra donc être un cas particulier de l’équation (3), et de nature à pouvoir en être déduite par une détermination convenable de la constante arbitraire
Soit et étant deux nombres entiers positifs, et supposons que, pour une certaine valeur de la constante l’équation (3) prenne la forme
et étant deux facteurs rationnels des pième et qième degrés, il s’ensuivra que, pour cette valeur de l’équation (3) n’exprime plus une surface unique, mais le système de deux surfaces des pième et qième ordres, sur lesquelles doivent conséquemment se trouver distribuées les lignes d’intersections des deux proposées.
Réciproquement, si la nature et la situation, respective des deux proposées sont telles que, parmi leurs lignes d’intersection, il s’en trouve qui soient toutes situées sur une seule et même surface du pième ordre, ces lignes seront de nature à être déterminées par la combinaison de l’une quelconque des équations (1) et (2) avec une équation rationnelle du pième degré ; puis donc que toutes les lignes d’intersection s’obtiennent par la combinaison de la même équation avec l’équation (3), il s’ensuit que le premier membre de cette dernière doit, par une détermination convenable de la constante arbitraire acquérir un facteur rationnel du pième degré ; ce premier membre devra donc, pour cette même valeur, avoir un autre facteur rationnel du qième degré. Cette équation sera donc alors de la forme de l’équation (4) ; en sorte que les lignes d’intersection
