des surfaces du second ordre proposées, le pôle de la face opposée ; 4.o enfin, que ces mêmes quatre sommets du tétraèdre sont aussi ceux des quatre surfaces coniques du second ordre qui contiennent les courbes d’intersection des deux surfaces que lon considère. Ces considérations conduisent d’ailleurs à une solution géométrique très-simple du problème intéressant et proposé quelquefois à l’école polytechnique, ou il s’agit de construire la courbe de séparation d’ombre et de lumières, pour le cas d’une surface quelconque du second ordre, éclairée par une sphère lumineuse, ou même par une autre surface quelconque du même ordre.
Jusqu’à présent, il n’a encore été question que des relations descriptives des figures. Dans la troisième partie du mémoire, j’examine les moyens de traduire, à l’aide de la théorie des polaires réciproques, les relations d’angles en d’autres relations pareilles, il serait trop long d’indiquer ici, même sommairement, l’esprit de la méthode que j’emploie. Je me contenterai, comme précédemment, de citer quelques-unes des conséquences des principes théoriques. Par exemple, je prouve de suite que les théorèmes des n.os 452, 481, 487 du Traité des propriétés projectives sont les réciproques de ceux qui ont été démontrés aux n.os 482 et 488. Je montre pareillement comment on peut traduire la construction des lignes du second ordre, au moyen d’angles constans ; donnée par Newton, et en général toutes celles de la Géométrie organique de Maclaurin, en d’autres absolument analogues, quoique néanmoins bien différentes. Pour le cas de l’espace, je fais voir que les propriétés de la pyramide supplémentaire sont des conséquences immédiates de la théorie des polaires réciproques. En appliquant les principes de cette même théorie au théorème de Monge, démontré par M. Poisson à la page 240 du tome I.er de la Correspondance sur l’école polytechnique, lequel consiste en ce que le lieu du sommet d’un angle trièdre trirectangle mobile, dont les faces sont constamment tangentes à une même surface du second ordre, est une surface sphérique qui lui est concentrique, on conclut, par exem-
