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$x'={\frac {a^{2}(tM-u)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)M}},\qquad y'={\frac {b^{2}(tM-u)M}{\left(a^{2}-b^{2}\right)M}}\,;$

valeurs qui, substituées dans la troisième, donnent, toutes réductions faites,

$b^{2}t^{2}M^{4}-2b^{2}tuM^{3}+\left\{a^{2}t^{2}+b^{2}u^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}\right\}M^{2}-2a^{2}tuM+a^{2}u^{2}=0.$

Dans cette équation, l’inconnue est, comme l’on voit, la tangente tabulaire de l’angle que fait avec l’axe des $x$ la normale menée à l’ellipse par le point $(t,u).$ Elle est du quatrième degré parce que, généralement parlant, on peut mener quatre tangentes à une ellipse par un même point de son plan.

Soient $M,M',M'',M'''$ les quatre racines de cette équation, on devra avoir

$M+M'+M''+M'''=(M+M')+(M''+M''')=2{\frac {u}{t}},$

$MM'+MM''+M'M''+MM'''+M'M'''+M''M'''=(M+M')(M''+M''')$

$+MM+MM={\frac {a^{2}t^{2}+b^{2}u^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{b^{2}+t^{2}}},$

$MM'M''+MM'M'''+MM''M'''+M'M''M'''=MM'(M''+M''')$

$+M''M'''(M+M')=2{\frac {a^{2}u^{2}}{b^{2}t^{2}}},$

$MM'M''M'''=MM''.M''M'''={\frac {a^{2}u^{2}}{b^{2}t^{2}}}.$

Mais il faut que deux des quatre normales soient perpendiculaires l’une à l’autre. Supposons que ce soient celles qui répondent