Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/328

${\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}},$

et que cette fonction est composée en $x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots$ comme la fonction donnée $u$ l’est en $x,y,z,\ldots$ ; il sera aisé de calculer ces dérivées successives par les règles ordinaires du calcul différentiel. En effet, en différentiant $u=\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )$ relativentent à toutes les variables $x,y,z,\ldots$ qui y sont contenues, en regardant à chaque différentiation successive, $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ comme des constantes ; on aura, pour ses différentielles des divers ordres, des fonctions de $x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ qu’on pourra représenter par

${\begin{aligned}\operatorname {d} \,u&=\operatorname {f} _{1}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\operatorname {d} ^{2}u&=\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\operatorname {d} ^{3}u&=\operatorname {f} _{3}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en se rappelant que $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ se trouvent à une seule dimension dans tous les termes de $\operatorname {f} _{1}$, à deux dans tous les termes de $\operatorname {f} _{2},$ à trois dans tous les termes de $\operatorname {f} _{3}$ et ainsi de suite ; les fonctions de $x,y,z,\ldots$ qui entrent dans les mêmes termes étant les dérivées partielles de $u$, qui ne sont susceptibles, en général, de devenir ni nulles ni infinies.

Cela posé, si l’on fait

$x+\alpha g=x',\quad y+\alpha h=y',\quad z+\alpha k=z',\ldots ,$

on aura

$u'=\operatorname {f} (x',y',z',\ldots ),$

${\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}},$

et que cette fonction est composée en $x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots$ comme la fonction donnée $u$ l’est en $x,y,z,\ldots$ ; il sera aisé de calculer ces dérivées successives par les règles ordinaires du calcul différentiel. En effet, en différentiant $u=\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )$ relativentent à toutes les variables $x,y,z,\ldots$ qui y sont contenues, en regardant à chaque différentiation successive, $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ comme des constantes ; on aura, pour ses différentielles des divers ordres, des fonctions de $x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ qu’on pourra représenter par

${\begin{aligned}\operatorname {d} \,u&=\operatorname {f} _{1}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\operatorname {d} ^{2}u&=\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\operatorname {d} ^{3}u&=\operatorname {f} _{3}(x,y,z,\ldots \operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en se rappelant que $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ se trouvent à une seule dimension dans tous les termes de $\operatorname {f} _{1}$, à deux dans tous les termes de $\operatorname {f} _{2},$ à trois dans tous les termes de $\operatorname {f} _{3}$ et ainsi de suite ; les fonctions de $x,y,z,\ldots$ qui entrent dans les mêmes termes étant les dérivées partielles de $u$, qui ne sont susceptibles, en général, de devenir ni nulles ni infinies.

Cela posé, si l’on fait

$x+\alpha g=x',\quad y+\alpha h=y',\quad z+\alpha k=z',\ldots ,$

on aura

$u'=\operatorname {f} (x',y',z',\ldots ),$