Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/329

${\begin{aligned}\operatorname {d} \,u'&=\operatorname {f} _{1}(x',y',z',\ldots \operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} z'),\\\operatorname {d} ^{2}u'&=\operatorname {f} _{2}(x',y',z',\ldots \operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} z'),\\\operatorname {d} ^{3}u'&=\operatorname {f} _{3}(x',y',z',\ldots \operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} z'),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Pour avoir les valeurs de ces différentielles de $u',$ quand on n’y fait varier que $\alpha$, il suffira de substituer, dans les équations précédentes, les valeurs de $\operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} z',\ldots$ relatives à cette hypothèse, qui sont

$\operatorname {d} x'=g\operatorname {d} \alpha ,\quad \operatorname {d} y'=h\operatorname {d} \alpha ,\quad \operatorname {d} z'=k\operatorname {d} \alpha ,\ldots \,;$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}&=\operatorname {f} _{1}(x',y',z',\ldots g\operatorname {d} \alpha ,h\operatorname {d} \alpha ,k\operatorname {d} \alpha ,\ldots ),\\\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}&=\operatorname {f} _{2}(x',y',z',\ldots g\operatorname {d} \alpha ,h\operatorname {d} \alpha ,k\operatorname {d} \alpha ,\ldots ),\\\\{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}}&=\operatorname {f} _{3}(x',y',z',\ldots g\operatorname {d} \alpha ,h\operatorname {d} \alpha ,k\operatorname {d} \alpha ,\ldots ),\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le nombre des dimensions de $\operatorname {d} \alpha ,$ dans les seconds membres étant le même que celui des dimensions de $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ dans les différentielles successives de $u$ ; c’est-à-dire, $1$ pour la première, $2$ pour la seconde, $3$ pour la troisième et ainsi de suite ; d’où il résulte que $\operatorname {d} \alpha$ disparaîtra de ces seconds membres en divisant la première par $\operatorname {d} \alpha ,$ la seconde par $\operatorname {d} \alpha ^{2}$, la troisième par $\operatorname {d} \alpha ^{3}$ et ainsi de suite, ce qui donnera