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$P'={\frac {r^{2}-ax'}{r^{2}-3ax'+2a^{2}}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ax'}},$

c’est-à-dire (11),

$P'={\frac {r^{2}-ax'}{r^{2}-3ax'+2a^{2}}}P.\qquad$(13)

Au moyen de cette équation (13), l’équation (10) devient

${\frac {y}{x+a{\frac {P'}{P}}}}={\frac {y'}{x'}},$

c’est-à-dire que la parallèle menée de l’un quelconque des points de la caustique au rayon qui va au point d’incidence correspondant, coupe la droite qui va du centre au point rayonnant à une distance de ce centre quatrième proportionnelle au rayon incident, au rayon réfléchi et à la longueur de cette droite.

Si l’on élimine $x'$ entre les équations (12) et (13), on trouvera

$P'={\frac {P[P^{2}+(r^{2}-a^{2})]}{3P^{2}-(r^{2}-a^{2})}}\,;\qquad$(14)

formule qui donnera la longueur du rayon réfléchi, quand on connaîtra celle du rayon incident.

Mais cette formule est susceptible d’une simplification notable. Supposons, en effet, que le point rayonnant soit intérieur au cercle, et soit $4c$ la longueur de la corde interceptée dans le cercle par le rayon incident considéré comme droite indéfinie, longueur qui est censée connue, dès qu’on connaît la direction de ce rayon. Par la propriété des cordes qui se coupent on aura

$P(4c-P)=(r+a)(r-a)=r^{2}-a^{2}.$

Mettant cette valeur de $r^{2}-a^{2}$ dans la formule (14), elle deviendra

$P'={\frac {cP}{P-c}}\,;\qquad$(15)

ou encore