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${\frac {1}{P}}+{\frac {1}{P'}}={\frac {1}{c}}.\quad$^[1]$\qquad$(16)

Si le point rayonnant était extérieur au cercle, on aurait, par la propriété des sécantes qui partent d’un même point,

$P(P-4c)\quad$ou$\quad P(P+4c)=a^{2}-r^{2}=-\left(r^{2}-a^{2}\right)$

suivant que le rayon parviendrait à la partie concave ou à la partie convexe de la circonférence. Dans le premier cas, la formule serait évidemment la même que ci-dessus ; dans le second, $P$ aurait simplement changé de signe et on trouverait

$P'={\frac {cP}{P+c}},\qquad$(17)

ou bien

${\frac {1}{P'}}-{\frac {1}{P}}={\frac {1}{c}}.$

Pour le rayon lumineux qui passe par le centre, on a $c={\frac {1}{2}}r$ et $P=a+r$ ou $a-r$ suivant que le rayon incident atteint la concavité ou la convexité du cercle ; substituant dans les formule (15) et (17) il vient

$P'={\frac {r(a+r)}{2a+r}},\qquad P'={\frac {r(a-r)}{2a-r}}\,;$

ce qui donne la position des points de rebroussement, dont les distances au centre sont

$x=-{\frac {ar}{2a+r}},\qquad x=+{\frac {ar}{2a-r}}.$

Une plus ample discussion prouvera d’ailleurs que, pour le cas général, la caustique est à peu près de même forme que pour ce-

1. C’est précisément la formule de Petit. Voyez la correspondance sur l’École polytechnique (tom. II, pag. 355).
   J. D. G.