![{\displaystyle r=v^{2}\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha ,\qquad \theta =\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d7acba470fee3e8a5e68c7ce4e2748d2ffc801)
En différentiant la seconde et y mettant pour
sa valeur, donnée par la première, on aura,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}={\frac {\operatorname {d} v}{v^{2}\operatorname {Tang} .\alpha }},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d844be2d973985ee4472b51ff5df2b9d1d0ade)
d’où
![{\displaystyle \quad \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}=-{\frac {1}{v\operatorname {Tang} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a1e3afe81b110e5ee53f44a7af42e81065217a)
de sorte que l’équation polaire cherchée sera
![{\displaystyle \theta =\operatorname {f} \left(-{\frac {1}{\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b71208b179f79e7d7a2da16cbd23d3c8161498e)
Si, par exemple, on suppose
![{\displaystyle \operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )={\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e6edfba573ad28826957abfc312a28d7c06bf3)
on aura
![{\displaystyle \theta =-{\frac {1}{a\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bec5606c334dc1c00e67b4d687162fc857d8cb)
d’où
![{\displaystyle \quad a\theta \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c712f9115fe0fe2a2ab09155ff0bd444a8d673)
puis en différentiant, divisant par
et éliminant ![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7de7a5250a5ec7cc02ebf4a26bb4b780a9cab7c)
![{\displaystyle r=a\theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e03b82a9ecdb86b067fc76263c1e69c75f3c6d)
C’est en effet le résultat (12) trouvé à la page 163, pour ce cas particulier.
Pour avoir la seconde équation de la développante, on prendra la somme des quarrés des équations (4) ce qui donnera
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}=\left\{1+v^{2}\operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da671e0e9df37033028f9c7459f6b54a09382b9a)
d’où