![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}&={\frac {x-t}{z-v}}={\frac {x-v\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right].\operatorname {Tang} .\alpha }{z-v}},\\\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}&={\frac {y-u}{z-v}}={\frac {y-v\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right].\operatorname {Tang} .\alpha }{z-v}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e849a72c984365d263cae8b9c996ec95aaa8228)
(5)
En égalant ces valeurs aux précédentes, on trouvera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x&=\left\{z\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]-v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\\y&=\left\{z\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha .\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9d6eee30c6d3d2cb52280d046026b4cb1eeb29)
(6)
Si l’on fait la somme des quarrés de ces valeurs, on trouvera
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left\{z^{2}+v^{2}(z-v)^{2}\operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46ac0bd85c9769c5406e45d5f877ef5ca93b812)
ou bien
![{\displaystyle v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e541f03077c10b75892977d38623241f39ac16)
(7)
et telle est l’équation qui donnera la valeur de
quand
seront donnés.
En faisant ensuite la somme des produits respectifs des équations (6) par
et
on trouvera
![{\displaystyle {\frac {x}{z\operatorname {Tang} .\alpha }}\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+{\frac {y}{z\operatorname {Tang} .\alpha }}\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6167f5b568a5036e413f2ffdf67acf7bc04de675)
(8)
Cette équation, après la substitution de la valeur de
donnée par l’équation (7), sera celle de la surface développable lieu des tangentes à la courbe conique.
Pour connaître l’intersection de cette surface avec le plan des
on fera
dans les équations (7) et (8), ce qui donnera
![{\displaystyle v^{2}\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fffbf322416fe0ae127b0d4b508da7ae2adbde5)
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+y\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09c702c944d7b035d2f21457400d51ff71ed430)
ou bien, en passant aux coordonnées polaires,