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Soit une surface du second ordre rapportée à deux axes quelconques et donnée par l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dyz+2Ezx+2Fxy+2Gx+2Hy+2Kz+L=0.$ (1)

On sait que son plan tangent, par un quelconque $(x',y',z')$ de ses points, a pour équation

$\left.{\begin{aligned}&(Ax'+Ez'+Fy'+G)x\\+&(By'+Fx'+Dz'+H)y\\+&(Cz'+Dy'+Ex'+K)z\end{aligned}}\right\}+(Gx'+Hy'+Kz'+L)=0.\quad$(2)

Si donc, en supposant le point $(x',y',z')$ indéterminé sur la surface, on veut que ce plan tangent passe par l’origine, il faudra écrire

$Gx'+Hy'+Kz'+L=0,\qquad$(3)

équation qui, combinée avec l’équation

$Ax'^{2}+By'^{2}+Cz'^{2}+2Dy'z'+2Ez'x'+2Fx'y'$

$+2Gx'+2Hy'+2Kz'+L=0,\quad$(4)

qui exprime que le point $(x',y',z')$ est sur la surface, fera connaître tous les points de contact, en nombre infini, pour lesquels cette condition se trouve remplie. Ces points seront également les points de contact de la surface (1) avec la surface conique circonscrite qui aurait son sommet à l’origine ; or, comme leurs coordonnées devront toutes satisfaire à l’équation (3) qui n’est que du premier degré, il s’ensuit qu’ils sont tous dans le plan exprimé par cette équation. Il est donc établi par là que la courbe de contact

309) que cette droite, passe par les milieux des trois diagonales du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes.