Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/370

d’une surface du second ordre avec la surface conique circonscrite est une courbe plane ; c’est le plan de cette courbe que l’on appelle le plan polaire du sommet du cône ; et l’on voit d’après cela que l’équation du plan polaire de l’origine est

$Gx+Hy+Kz+L=0.\qquad$(5)

Supposons présentement que la surface du second ordre dont il s’agit soit indéterminée, mais assujettie néanmoins à passer par sept points donnés dans l’espace. On exprimera cette condition par sept équations linéaires, entre les dix coefficiens $A,B,C,D,E,F,G,H,K,L,$ qui entreront dans tous leurs termes et desquelles conséquemment on pourra obtenir les valeurs de sept d’entre elles, en fonction linéaire des trois restantes, qui entreront aussi dans tous les termes de ces fonctions. En choisissant, par exemple $\mathrm {G,H,K}$ pour $\mathrm {ces}$ trois-là, on aura

$L=\alpha G+\beta H+\gamma K,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant des quantités constantes, fonctions des coordonnées des sept points donnés. En substituant cette valeur dans l’équation (5) de la polaire de l’origine, cette équation deviendra

$Gx+Hy+Kz+G\alpha +H\beta +K\gamma =0,$

ou bien

$G(x+\alpha )+H(y+\beta )+K(z+\gamma )=0.$

Or, on satisfait à cette équation, quels que soient $G,H,K,$ en posant

$x=-\alpha ,\qquad y=-\beta ,\qquad z=-\gamma \,;$

ce ne sont donc là les coordonnées d’un point fixe, par lequel passent constamment les plans polaires de l’origine, quelle que soit d’ail-